İrrasyonel sayılar arasında, cebirsel sayıların yanında, üstün sayılar adı verilen daha farklı sayılar da vardır. Sözü edilen bu sayılar, rasyonel katsayılı hiçbir cebirsel denklemin çözümü değildir; yani cebirsel işlemlerle elde edilemezler. İlk karşılaştırılan üstün sayı, çemberin çevresini veya alanını hesaplamak için kullanılan pi sayısıdır. Bu sayı matematikçileri, uzun süre büyük bir şaşkınlığa düşürdü. Geometride kaçınılmaz olan böyle bir sayı, kesin bir şekilde nasıl tanımlanır? Problem özellikle, iyi bilinen daireyi kareleştirme şeklini alır. Nitekim pi sayısını tanımlamak, alanı kesin olarak bir dairenin alanına eşit olan bir karenin çizimine dönüşür. Bu problem tarih boyunca çok sayıda ararştırmaya konu oldu. Böyle bir çizimin imkansızlığını, ancak 1882 yılında Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) kanıtladı.Lindemann, herşeyden önce pi sayısının, bir denklemin cebirsel çözümü olamayacağını ortaya koydu; böylece, daireyi kareleştirmeye dayanan geometrik çözümün temel koşulu çürütülüyordu. Lindemann’ın çalışması, Fransız matematikçi Charles Hermite’nin (1822-1901) elde etmiş olduğu benzer sonuçların devamıydı. Charles Hermite, Napier logaritmasının tabanı olan “e” sayısının da aynı özelliği taşıdığını gösterdi.
Sadece sonsuz dizilerin veya limiti olarak elde edilebilen üstün sayılar nasıl tanımlanabilir? Herşeyden önce bu sayılardan çok azının tanındığını bilmek gerekir. Cantor kendisini de şaşırtan çalışmasında, cebirsel sayılar kümesinin sayılabildiğini, yani tamsayılar kümesiyle arasında birebir ve örten bir uygulama bulunduğunu, ama üstün sayıların kümesinin sayılamayacağını kanıtladı ve kümeler kuramında bu sayıların kümesinin cebirsel sayıların kümesinden daha büyük olduğunu ortaya koydu.
Bugün biraz tebessümle karşılanan yanına rağmen, daireyi kareleştirme problemi, sayıları tanımamıza ve yeni sayılar yaratılmasına öncülük etti.